二次函數解題方法

1.求證“兩線段相等”的問題：

2.“平行于y軸的動線段長度的值”的問題：

由于平行于y軸的線段上各個點的橫坐標相等(常設為t)，借助于兩個端點所在的函數圖象解析式，把兩個端點的縱坐標分別用含有字母t的代數式表示出來，再由兩個端點的高低情況，運用平行于y軸的線段長度計算公式，把動線段的長度就表示成為一個自變量為t，且開口向下的二次函數解析式，利用二次函數的性質，即可求得動線段長度的值及端點坐標。

3.求一個已知點關于一條已知直線的對稱點的坐標問題：

先用點斜式(或稱K點法)求出過已知點，且與已知直線垂直的直線解析式，再求出兩直線的交點坐標，最后用中點坐標公式即可。

4.“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離”的問題：

(方法1)先求出定直線的斜率，由此可設出與定直線平行且與拋物線相切的直線的解析式(注意該直線與定直線的斜率相等，因為平行直線斜率(k)相等)，再由該直線與拋物線的解析式組成方程組，用代入法把字母y消掉，得到一個關于x的的一元二次方程，由題有△=-4ac=0(因為該直線與拋物線相切，只有一個交點，所以-4ac=0)從而就可求出該切線的解析式，再把該切線解析式與拋物線的解析式組成方程組，求出x、y的值，即為切點坐標，然后再利用點到直線的距離公式，計算該切點到定直線的距離，即為距離。

(方法2)該問題等價于相應動三角形的面積問題，從而可先求出該三角形取得面積時，動點的坐標，再用點到直線的距離公式，求出其距離。

(方法3)先把拋物線的方程對自變量求導，運用導數的幾何意義，當該導數等于定直線的斜率時，求出的點的坐標即為符合題意的點，其距離運用點到直線的距離公式可以輕松求出。

5.常數問題：

(1)點到直線的距離中的常數問題：

“拋物線上是否存在一點，使之到定直線的距離等于一個固定常數”的問題：

先借助于拋物線的解析式，把動點坐標用一個字母表示出來，再利用點到直線的距離公式建立一個方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，進而利用拋物線解析式，求出動點的縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。

(2)三角形面積中的常數問題：

“拋物線上是否存在一點，使之與定線段構成的動三角形的面積等于一個定常數”的問題：

先求出定線段的長度，再表示出動點(其坐標需用一個字母表示)到定直線的距離，再運用三角形的面積公式建立方程，解此方程，即可求出動點的橫坐標，再利用拋物線的解析式，可求出動點縱坐標，從而拋物線上的動點坐標就求出來了。

6.“在定直線(常為拋物線的對稱軸，或x軸或y軸或其它的定直線)上是否存在一點，使之到兩定點的距離之和最小”的問題：

先求出兩個定點中的任一個定點關于定直線的對稱點的坐標，再把該對稱點和另一個定點連結得到一條線段，該線段的長度〈應用兩點間的距離公式計算〉即為符合題中要求的最小距離，而該線段與定直線的交點就是符合距離之和最小的點，其坐標很易求出(利用求交點坐標的方法)。

7.三角形周長的“最值(值或最小值)”問題：

“在定直線上是否存在一點，使之和兩個定點構成的三角形周長最小”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題)：

由于有兩個定點，所以該三角形有一定邊(其長度可利用兩點間距離公式計算)，只需另兩邊的和最小即可。

8.三角形面積的值問題：

①“拋物線上是否存在一點，使之和一條定線段構成的三角形面積”的問題(簡稱“一邊固定兩邊動的問題”)：

(方法1)先利用兩點間的距離公式求出定線段的長度;然后再利用上面3的方法，求出拋物線上的動點到該定直線的距離。最后利用三角形的面積公式底·高1/2。即可求出該三角形面積的值，同時在求解過程中，切點即為符合題意要求的點。

(方法2)過動點向y軸作平行線找到與定線段(或所在直線)的交點，從而把動三角形分割成兩個基本模型的三角形，動點坐標一母示后，進一步可得到

轉化為一個開口向下的二次函數問題來求出值。

②“三邊均動的動三角形面積”的問題(簡稱“三邊均動”的問題)：

先把動三角形分割成兩個基本模型的三角形(有一邊在x軸或y軸上的三角形，或者有一邊平行于x軸或y軸的三角形，稱為基本模型的三角形)面積之差，設出動點在x軸或y軸上的點的坐標，而此類題型，題中一定含有一組平行線，從而可以得出分割后的一個三角形與圖中另一個三角形相似(常為圖中的那一個三角形)。利用相似三角形的性質(對應邊的比等于對應高的比)可表示出分割后的一個三角形的高。從而可以表示出動三角形的面積的一個開口向下的二次函數關系式，相應問題也就輕松解決了。

初中數學解題技巧

兩類壓軸題主要考點

縱觀全國各地的中考數學試卷，我們不妨把壓軸題分為函數型綜合題和幾何型綜合題。

(一)函數型綜合題

▼一元二次方程與函數

相比幾何綜合題來說，代數綜合題倒不需要太多巧妙的方法，但是對考生的計算能力以及代數功底有比較高的要求。

中考數學當中，代數問題往往是以一元二次方程與二次函數為主體，多種其他知識點輔助的形式出現的。

一元二次方程與二次函數問題當中，純粹的一元二次方程解法通常會以簡單解答題的方式考察。

但是在后面的中難檔大題當中，通常會和根的判別式，整數根和拋物線等知識點結合。

▼多種函數交叉綜合問題

初中數學涉及到的函數就是一次函數，反比例函數以及二次函數。

這類題目本身并不會太難，很少作為壓軸題出現，一般都是作為一道中檔次題目來考察考生對于一次函數以及反比例函數的掌握。

所以，在中考中面對這類問題，一定要做到避免失分。

(二)幾何型綜合題

▼動態幾何與函數問題

中考壓軸題尤以涉及的動態幾何問題最為艱難。

幾何問題的難點在于想象，構造，往往有時候一條輔助線沒有想到，整個一道題就卡殼了。

整體說來，代幾綜合題大概有兩個側重，第一個是側重幾何方面，利用幾何圖形的性質結合代數知識來考察。

而另一個則是側重代數方面，幾何性質只是一個引入點，更多的考察了考生的計算功夫。

但是這兩種側重也沒有很嚴格的分野，很多題型都很類似。

其中通過圖中已給幾何圖形構建函數是重點考察對象。做這類題時一定要有“減少復雜性”“增大靈活性”的主體思想。

▼幾何圖形的歸納、猜想

中考加大了對考生歸納，總結，猜想這方面能力的考察，但是由于數列的系統知識要到高中才會正式考察，所以大多放在填空壓軸題來出。

四個壓軸題解題切入秘訣

▼切入點一：做不出、找相似，有相似、用相似

壓軸題牽涉到的知識點較多，知識轉化的難度較高。

學生不知道該怎樣入手時，往往應根據題意去尋找相似三角形。

▼切入點二：構造定理所需的圖形或基本圖形

在解決問題的過程中，有時添加輔助線是必不可少的，幾乎都遵循這樣一個原則：構造定理所需的圖形或構造一些常見的基本圖形。

▼切入點三：緊扣不變量

在圖形運動變化時，圖形的位置、大小、方向可能都有所改變。

但在此過程中，往往有某兩條線段，或某兩個角或某兩個三角形所對應的位置或數量關系不發生改變。

▼切入點四：在題目中尋找多解的信息

圖形在運動變化，可能滿足條件的情形不止一種，也就是通常所說的兩解或多解。

如何避免漏解是一個令考生頭痛的問題，其實多解的信息在題目中就可以找到，這就需要我們深度的挖掘題干，實際上就是反復認真的審題。

四個壓軸題解題技巧

▼定位準確防止 “撿芝麻丟西瓜”

在心中一定要給壓軸題或幾個“難點”一個時間上的限制。

如果超過你設置的上限，必須要停止，回頭認真檢查前面的題。

盡量要保證選擇、填空萬無一失，前面的解答題盡可能地檢查一遍。

▼學會運用數形結合思想

縱觀近幾年全國各地的中考壓軸題，絕大部分都是與平面直角坐標系有關的。

其特點是通過建立點與數即坐標之間的對應關系：

一方面可用代數方法研究幾何圖形的性質，利用幾何圖形的性質研究數量關系，尋求代數問題;

另一方面又可借助幾何直觀，得到某些代數問題的解答。

▼學會運用函數與方程思想

用方程思想解題的關鍵是利用已知條件或公式、定理中的已知結論構造方程(組)。

這種思想在代數、幾何及生活實際中有著廣泛的應用。

直線與拋物線是初中數學中的兩類重要函數，即一次函數與二次函數所表示的圖形。

因此，無論是求其解析式還是研究其性質，都離不開函數與方程的思想。

例如函數解析式的確定，往往需要根據已知條件列方程或方程組并解之而得。

▼解數學壓軸題做一問是一問

第一問對絕大多數同學來說，不是問題;如果第一小問不會解，切忌不可輕易放棄第二小問。

過程會多少寫多少，因為數學解答題是按步驟給分的，字跡要工整，布局要合理;

盡量多用幾何知識，少用代數計算，盡量用三角函數，少在直角三角形中使用相似三角形的性質。

在解數學綜合題時我們要做到：

數形結合記心頭，大題小作來轉化，潛在條件不能忘，化動為靜多畫圖，分類討論要嚴密，方程函數是工具，計算推理要嚴謹，創新品質得提高。

中考數學答題技巧解析

1、實際應用問題

實際應用問題對很多初中生來說是一個數學學習難點。很多實際應用問題背景設置的情境都是學生在生活中很少經歷，造成學生對問題缺少最基本的感性認識，這樣就會讓學生在閱讀和理解題干的時候造成干擾。

實際應用問題在考查學生數學知識基礎同時，更是檢驗學生的數學能力水平。在初中數學知識范圍內，實際應用問題一般指方程(組)和不等式(組)：一元一次方程、二元一次方程(組)、一元二次方程、一元一次不等式(組)。

求解實際應用問題，咱們可以從以下幾步來思考：

1、審題。仔細閱讀題目，弄清題意，理順關系。讀題時要注意對語言去粗取精，提煉加工，抓住關鍵的字詞句。

2、建模。選取基本變量，將文字語言抽象概括成數學語言，依據有關定義、公理和數學知識，建立數學模型。

3、解模。根據數學知識和數學方法，求解數學模型，得到數學問題的結果。

4、檢驗(回歸)。把數學結果回歸到實際問題中去，通過分析、判斷、驗證得到實際問題的結果，回歸時要利用實際意義的條件進行檢驗取舍，找出正確結果。

2、幾何綜合題型

幾何綜合題考查知識點多，條件隱晦，要求學生有較強的理解能力、分析能力、解決問題的能力，對數學基礎知識、數學基本方法有較強的駕馭能力，并有較強的創新意識和創新能力。

(1)幾何綜合題，常用相似與圓的有關知識作為考查重點，并貫穿幾何、代數、三角函數等知識，以證明、計算等題型出現。

(2)幾何計算是以幾何推理為基礎的幾何量的計算，主要有線段和弧的長度的計算，角的三角函數值的計算，以及各種圖形面積的計算等。

(3)幾何論證題主要考查學生綜合應用所學幾何知識的能力。幾何論證型綜合問題，常以相似形、圓的知識為背景，串聯其他幾何知識。順利證明幾何問題取決于下列因素：

①熟悉各種常見問題的基本證明;

②能準確添加基本輔助線;

③對復雜圖形能進行恰當的分解與組合;

④善于選擇證題的起點并轉化問題。

幾何計算型綜合問題，其中以線段的計算最為常見，線段的計算通常是通過勾股定理、相交弦定理、切割線定理及推論、相似三角形對應邊成比例所提供的等式進行的，這些等式可以根據不同的已知條件轉化為方程或方程組。

一個方法

幾何圖形可以直觀的表示出來，在人們認識圖形的初級階段主要依靠形象思維。人們對幾何圖形的認識始于觀察、測量、比較等直觀實驗手段，人們可以通過直觀實驗了解幾何圖形，發現其中的規律。

一個策略

幾何證明常用的方法是綜合法，它是以題設作為出發點，根據已確定的公理和定理，逐步推理，直接推得結論成立(或問題解決)。在綜合法的思路過程中，我們應當研究由題設的條件(或部分的條件)能得出哪些中間結果，進而再研究由這些中間結果(或它們的組合)又能得到哪些結果，如此繼續研究思考，直到推出題中的結論成立。

3、動態綜合題型

函數、相似、動態這三者放在一起，無論是平?？荚囘€是中考，都會是一個“香餑餑”，甚至作為中考數學的壓軸題。如因動點產生的函數、相似三角形等綜合問題怎么解?咱們一起來看看：

1、利用已知三角形中對應角、對應邊，通過相似在未知三角形中利用勾股定理、三角函數、對稱、旋轉等知識來推導邊的大小。

2、當三角形相似對應點未確定時，先要分析已知三角形的邊和角的特點，進而得出已知三角形是否為特殊三角形。根據未知三角形中已知邊與已知三角形的可能對應邊分類討論。

3、若兩個三角形的各邊均未給出，應先設所求點的坐標進而用函數解析式來表示各邊的長度，之后利用相似來列方程求解